Saturday, November 3, 2018

The Man Who Knew Infinity

1+2+3+4+…

1 ကေန 100 အထိ ေပါင္းရင္ အေျဖ ဘယ္ေလာက္ရမလဲ။ သခ်ၤာမွာ Arithmetic Series သင္ဖူးတဲ့သူက ခပ္လြယ္လြယ္ အေျဖ ထုတ္ေပးႏိုင္ပါလိမ့္မယ္။

ဒါဆို 100 အထိ မဟုတ္ဘဲ… infinity အထိ ေပါင္းမယ္ဆိုရင္ေရာ… ။ Infinity ရမွာေပါ့လို႔ အမ်ားစုက ေျဖၾကပါလိမ့္မယ္။ အခ်ိဳ႕ကလည္း … ဒါက Divergent Series ႀကီးမို႔ အေျဖမရွိဘူးလုိ႔ ေျပာခ်င္ေျပာပါလိမ့္မယ္။

အကယ္၍ တစ္ေယာက္ေယာက္ကမ်ား 1+2+3+4+… ကို infinity အထိ ေပါင္းခဲ့ရင္ အေျဖက 1 ထက္ငယ္တဲ့ အႏႈတ္ဂဏန္းတစ္ခု ရမယ္ဆိုရင္ “ဒီေကာင္ common sense ေလးေတာင္ မရွိတဲ့ေကာင္” လို႔ ေတြးေကာင္း ေတြးမိပါလိမ့္မယ္။

စာေမးပြဲက်လို႔ ေက်ာင္းထြက္ထားရတဲ့ အိႏၵိယႏိုင္ငံ မဒရပ္စ္ၿမိဳ႕က အခြန္႐ံုး စာေရးေလး တစ္ဦး ျဖစ္တဲ့ Srinivasa Ramanujan (1887-1920) က ဒီပုစၧာကို -1/12 လို႔ အေျဖထုတ္ခဲ့ပါတယ္။ တကယ္ေတာ့လည္း ဒီအေျဖရဖို႔ သိပ္ခက္ခက္ခဲခဲ တြက္ရတာေတာ့ မဟုတ္ပါဘူး။ အလယ္တန္းေက်ာင္းသား တစ္ေယာက္ကို ရွင္းျပရင္ေတာင္ နားလည္ႏိုင္ပါတယ္။ ဒီအေျဖအပါအဝင္ သူ႔ရဲ႕ အျခားသခ်ၤာမွတ္စုေတြကို ၾကည့္ၿပီး သူကို ဉာဏ္ႀကီးရွင္တစ္ေယာက္ အျဖစ္ Cambridge တကၠသိုလ္က ဖိတ္ၾကားခဲ့ပါတယ္။ ေနာင္မွာ ႐ူပေဗဒပညာရွင္ေတြက String Theory ကို တြက္ခ်က္ေဖာ္ထုတ္ေတာ့ သူ႔ရဲ႕အေျဖ -1/12 ကုိ ထည့္ၿပီး အသံုးခ်ခဲ့ၾကတယ္။

တခါတေလမွာ အမွန္တရားဆိုတာက ကိုယ္အႏွစ္ႏွစ္အလလက လက္ခံထားတဲ့ အသိနဲ႔ ဆန္က်င္ေနတတ္ၿပီး၊ Common Sense ဆိုတဲ့ ေဘာင္ကို ေက်ာ္ေနတတ္ပါတယ္။ လက္ခံတယ္ဆိုရင္ေတာင္ ကိုယ့္ထက္သိတဲ့ ပညာရွင္ေတြက ေျပာလို႔သာ ေအာင့္သက္သက္နဲ႔ လက္ခံလိုက္ရတာမ်ိဳး ျဖစ္ေနႏိုင္ပါတယ္။ ဒါမွမဟုတ္လည္း နားမလည္ပဲ နားလည္သေယာင္ လက္ခံလိုက္တာမ်ိဳးလည္း ျဖစ္ေနႏိုင္ပါတယ္။ ဥပမာ အနတၱတရားကို ဘဝင္က်က် လက္ခံႏိုင္ဖို႔ဆိုတာက 1+2+3+4+… = -1/12 ဆိုတဲ့ အေျဖထက္ အဆမ်ားစြာ ပိုၿပီး ခက္ပါလိမ့္မယ္။


Book: The Man Who Knew Infinity: A Life Of The Genius Ramanujan/The-Man-Who-Knew-Infinity-A-Life-of-the-Genius-Ramanujan


(သူ႕ရဲ႕ အေၾကာင္းကို The Man Who Knew Infinity ဆိုတဲ့ အမည္နဲ႔ ႐ုပ္ရွင္ ႐ိုက္ထားတာလည္း ရွိပါတယ္)။

***** 

Common sense အရေျပာမယ္ဆိုရင္ 1+2+3+4+… ကို infinity (∞) အထိေပါင္းရင္ positive infinity (+∞) ပဲရႏိုင္ပါတယ္။ ဒါဆိုရင္ 1²+2²+3²+4²+… ဆုိရင္ေရာ…။ ဒါလည္းပဲ positive infinity (+∞) ရမွာပါပဲ။ ေနာက္ထပ္ေျပာႏိုင္တာက ပထမအေျဖနဲ႔ ဒုတိယအေျဖကို ယွဥ္ရင္ ဒုတိယအေျဖက ေသခ်ာေပါက္ ပိုၿပီးႀကီးမယ္လုိ႔ ေျပာႏိုင္ပါတယ္။ ဒါေပမယ့္ အဆ ဘယ္ေလာက္ ပိုႀကီးမယ္ဆိုတာကို အေျဖထုတ္ျပႏိုင္မွာ မဟုတ္ပါဘူး။ ဘာေၾကာင့္လဲဆိုေတာ့ ∞/∞ က 0/0 လိုပဲ တိက်တဲ့ အေျဖမရွိလို႔ပါ။ ဥပမာ 0/0 ဆိုရင္ 1 လည္း ျဖစ္ႏိုင္တယ္။ 10 လည္း ျဖစ္ႏိုင္တယ္။ 1000 လည္း ျဖစ္ေနႏိုင္တယ္။ မေရရာလို႔ပါ။ ဒါဆိုရင္ရင္ 0/0 ကို ေျဖရွင္းဖို႔ (တနည္း အလြန္ေသးငယ္တဲ့ ကိန္းေတြရဲ႕ အခ်ိဳးအဆကို ရွာဖို႔) နည္းလမ္း လံုးဝ မရွိေတာ့ဘူးလား …။ ရွိပါတယ္။ Calculus ဆိုတာက ဒီလိုျပႆနာမ်ိဳးေတြကို ေျဖရွင္းတဲ့နည္းလမ္းပါ။ ဒါဆိုရင္… ∞/∞ လို အလြန္ႀကီးတဲ့ ကိန္းေတြကို ဘယ္လို တြက္လုိ႔ ရမလဲ။

သခ်ၤာမွာ ကိန္းတစ္ခုက အလြန္ႀကီးသြားၿပီး well-behaved မျဖစ္ေတာ့တဲ့ အေျခအေနကို Singularity လို႔ေခၚပါတယ္။ well-behaved မျဖစ္ေတာ့ဘူးဆိုတာက ကိုယ္နားလည္ႏိုင္တဲ့ နယ္မွာ မရွိေတာ့ဘူးလို႔လည္း ဆိုခ်င္ဆိုႏိုင္ပါတယ္။ ဒီအခါမွာ ကိုယ္ၾကည့္ေနက် အျမင္နဲ႔ မၾကည့္ေတာ့ဘဲ အျမင္သစ္၊ ႐ႈေထာင့္သစ္တစ္ခုကေန ၾကည့္ဖို႔လိုလာပါတယ္။ အထက္ကေျပာခဲ့တဲ့ infinite series ေတြက Riemann zeta function ζ(s) မွာ s တန္ဖိုး -ve ျဖစ္တဲ့ series ေတြပါ။ ဒီပို႔မွာပါတဲ့ ပံုထဲကအတိုင္း function ζ(s) ကို Complex Plane ေပၚမွာ ဆြဲၾကည့္လိုက္ရင္ s > 1 ျဖစ္တဲ့ ညာဖက္အျခမ္းက ဒီ series ေတြ convergent ျဖစ္တဲ့ သမား႐ိုးက်သခၤ်ာနဲ႔ တြက္လို႔ရတဲ့ နယ္ပါ။ အကယ္၍ s = 1 ကေနၿပီး ဘယ္ဖက္ကို ေခါက္ခ်လိုက္ရင္ divergent ျဖစ္ေနၿပီး အေျဖထုတ္လို႔ မရတဲ့ s < 1 ျဖစ္တဲ့ function ζ(s) ရဲ႕ curve ကို ညာဖက္ျခမ္းနဲ႔ တဆက္တည္းလို ပံုစံတူ ထြက္လာပါတယ္။ ဒီလို တကယ္ မရွိေပမယ့္ စိတ္ကူးနဲ႔ ဆက္ၿပီး ဆြဲထားတာကို သခ်ၤာမွာ Analytic Continuation လို႔ ေခၚပါတယ္။ အဲဒီအခါမွာ s = -1 ထည့္လိုက္ရင္ ζ(-1) =1+2+3+4+…= -1/12 ရပါတယ္။

အထက္ကေျပာခဲ့တဲ့ ∞/∞ လို ျပႆနာမ်ိဳးေတြကို နားလည္ေနက် ေဘာင္ထဲကေန တြက္လုိ႔ မရတဲ့အခါ Analytic Continuation နဲ႔ ဆြဲဆန္႔ထားတဲ့ နယ္မွာတြက္ခဲ့ရင္ အဆင္ေျပသြားပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ Black Hole တို႔ String တု႔ိလို ပံုမွန္သခ်ၤာနဲ႔ တြက္လို႔ မရေတာ့တဲ့ နယ္ေတြမွာ ζ(-1) =1+2+3+4+…= -1/12 formula ေတြက အသံုးတဲ့လာပါတယ္။

စိတ္ဝင္စားရင္ ဒီ Link မွာ https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww အလယ္တန္းအဆင့္ သခ်ၤာနဲ႔ တြက္ျပထားကို ၾကည့္ႏိုင္ပါတယ္။ Analytic Continuation ကိုေတာ့ ဒီLink မွာ https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw ၾကည့္ႏိုင္ပါတယ္။

0 comments: