The Man Who Knew Infinity

1+2+3+4+…

1 ကနေ 100 အထိ ပေါင်းရင် အဖြေ ဘယ်လောက်ရမလဲ။ သင်္ချာမှာ Arithmetic Series သင်ဖူးတဲ့သူက ခပ်လွယ်လွယ် အဖြေ ထုတ်ပေးနိုင်ပါလိမ့်မယ်။

ဒါဆို 100 အထိ မဟုတ်ဘဲ… infinity အထိ ပေါင်းမယ်ဆိုရင်ရော… ။ Infinity ရမှာပေါ့လို့ အများစုက ဖြေကြပါလိမ့်မယ်။ အချို့ကလည်း … ဒါက Divergent Series ကြီးမို့ အဖြေမရှိဘူးလို့ ပြောချင်ပြောပါလိမ့်မယ်။

အကယ်၍ တစ်ယောက်ယောက်ကများ 1+2+3+4+… ကို infinity အထိ ပေါင်းခဲ့ရင် အဖြေက 1 ထက်ငယ်တဲ့ အနှုတ်ဂဏန်းတစ်ခု ရမယ်ဆိုရင် “ဒီကောင် common sense လေးတောင် မရှိတဲ့ကောင်” လို့ တွေးကောင်း တွေးမိပါလိမ့်မယ်။

စာမေးပွဲကျလို့ ကျောင်းထွက်ထားရတဲ့ အိန္ဒိယနိုင်ငံ မဒရပ်စ်မြို့က အခွန်ရုံး စာရေးလေး တစ်ဦး ဖြစ်တဲ့ Srinivasa Ramanujan (1887-1920) က ဒီပုစ္ဆာကို -1/12 လို့ အဖြေထုတ်ခဲ့ပါတယ်။ တကယ်တော့လည်း ဒီအဖြေရဖို့ သိပ်ခက်ခက်ခဲခဲ တွက်ရတာတော့ မဟုတ်ပါဘူး။ အလယ်တန်းကျောင်းသား တစ်ယောက်ကို ရှင်းပြရင်တောင် နားလည်နိုင်ပါတယ်။ ဒီအဖြေအပါအဝင် သူ့ရဲ့ အခြားသင်္ချာမှတ်စုတွေကို ကြည့်ပြီး သူကို ဉာဏ်ကြီးရှင်တစ်ယောက် အဖြစ် Cambridge တက္ကသိုလ်က ဖိတ်ကြားခဲ့ပါတယ်။ နောင်မှာ ရူပဗေဒပညာရှင်တွေက String Theory ကို တွက်ချက်ဖော်ထုတ်တော့ သူ့ရဲ့အဖြေ -1/12 ကို ထည့်ပြီး အသုံးချခဲ့ကြတယ်။

တခါတလေမှာ အမှန်တရားဆိုတာက ကိုယ်အနှစ်နှစ်အလလက လက်ခံထားတဲ့ အသိနဲ့ ဆန်ကျင်နေတတ်ပြီး၊ Common Sense ဆိုတဲ့ ဘောင်ကို ကျော်နေတတ်ပါတယ်။ လက်ခံတယ်ဆိုရင်တောင် ကိုယ့်ထက်သိတဲ့ ပညာရှင်တွေက ပြောလို့သာ အောင့်သက်သက်နဲ့ လက်ခံလိုက်ရတာမျိုး ဖြစ်နေနိုင်ပါတယ်။ ဒါမှမဟုတ်လည်း နားမလည်ပဲ နားလည်သယောင် လက်ခံလိုက်တာမျိုးလည်း ဖြစ်နေနိုင်ပါတယ်။ ဥပမာ အနတ္တတရားကို ဘဝင်ကျကျ လက်ခံနိုင်ဖို့ဆိုတာက 1+2+3+4+… = -1/12 ဆိုတဲ့ အဖြေထက် အဆများစွာ ပိုပြီး ခက်ပါလိမ့်မယ်။

Book: The Man Who Knew Infinity: A Life Of The Genius Ramanujan/The-Man-Who-Knew-Infinity-A-Life-of-the-Genius-Ramanujan


(သူ့ရဲ့ အကြောင်းကို The Man Who Knew Infinity ဆိုတဲ့ အမည်နဲ့ ရုပ်ရှင် ရိုက်ထားတာလည်း ရှိပါတယ်)။

***** 

Common sense အရပြောမယ်ဆိုရင် 1+2+3+4+… ကို infinity (∞) အထိပေါင်းရင် positive infinity (+∞) ပဲရနိုင်ပါတယ်။ ဒါဆိုရင် 1²+2²+3²+4²+… ဆိုရင်ရော…။ ဒါလည်းပဲ positive infinity (+∞) ရမှာပါပဲ။ နောက်ထပ်ပြောနိုင်တာက ပထမအဖြေနဲ့ ဒုတိယအဖြေကို ယှဉ်ရင် ဒုတိယအဖြေက သေချာပေါက် ပိုပြီးကြီးမယ်လို့ ပြောနိုင်ပါတယ်။ ဒါပေမယ့် အဆ ဘယ်လောက် ပိုကြီးမယ်ဆိုတာကို အဖြေထုတ်ပြနိုင်မှာ မဟုတ်ပါဘူး။ ဘာကြောင့်လဲဆိုတော့ ∞/∞ က 0/0 လိုပဲ တိကျတဲ့ အဖြေမရှိလို့ပါ။ ဥပမာ 0/0 ဆိုရင် 1 လည်း ဖြစ်နိုင်တယ်။ 10 လည်း ဖြစ်နိုင်တယ်။ 1000 လည်း ဖြစ်နေနိုင်တယ်။ မရေရာလို့ပါ။ ဒါဆိုရင်ရင် 0/0 ကို ဖြေရှင်းဖို့ (တနည်း အလွန်သေးငယ်တဲ့ ကိန်းတွေရဲ့ အချိုးအဆကို ရှာဖို့) နည်းလမ်း လုံးဝ မရှိတော့ဘူးလား …။ ရှိပါတယ်။ Calculus ဆိုတာက ဒီလိုပြဿနာမျိုးတွေကို ဖြေရှင်းတဲ့နည်းလမ်းပါ။ ဒါဆိုရင်… ∞/∞ လို အလွန်ကြီးတဲ့ ကိန်းတွေကို ဘယ်လို တွက်လို့ ရမလဲ။

သင်္ချာမှာ ကိန်းတစ်ခုက အလွန်ကြီးသွားပြီး well-behaved မဖြစ်တော့တဲ့ အခြေအနေကို Singularity လို့ခေါ်ပါတယ်။ well-behaved မဖြစ်တော့ဘူးဆိုတာက ကိုယ်နားလည်နိုင်တဲ့ နယ်မှာ မရှိတော့ဘူးလို့လည်း ဆိုချင်ဆိုနိုင်ပါတယ်။ ဒီအခါမှာ ကိုယ်ကြည့်နေကျ အမြင်နဲ့ မကြည့်တော့ဘဲ အမြင်သစ်၊ ရှုထောင့်သစ်တစ်ခုကနေ ကြည့်ဖို့လိုလာပါတယ်။ အထက်ကပြောခဲ့တဲ့ infinite series တွေက Riemann zeta function ζ(s) မှာ s တန်ဖိုး -ve ဖြစ်တဲ့ series တွေပါ။ ဒီပို့မှာပါတဲ့ ပုံထဲကအတိုင်း function ζ(s) ကို Complex Plane ပေါ်မှာ ဆွဲကြည့်လိုက်ရင် s > 1 ဖြစ်တဲ့ ညာဖက်အခြမ်းက ဒီ series တွေ convergent ဖြစ်တဲ့ သမားရိုးကျသင်္ချာနဲ့ တွက်လို့ရတဲ့ နယ်ပါ။ အကယ်၍ s = 1 ကနေပြီး ဘယ်ဖက်ကို ခေါက်ချလိုက်ရင် divergent ဖြစ်နေပြီး အဖြေထုတ်လို့ မရတဲ့ s < 1 ဖြစ်တဲ့ function ζ(s) ရဲ့ curve ကို ညာဖက်ခြမ်းနဲ့ တဆက်တည်းလို ပုံစံတူ ထွက်လာပါတယ်။ ဒီလို တကယ် မရှိပေမယ့် စိတ်ကူးနဲ့ ဆက်ပြီး ဆွဲထားတာကို သင်္ချာမှာ Analytic Continuation လို့ ခေါ်ပါတယ်။ အဲဒီအခါမှာ s = -1 ထည့်လိုက်ရင် ζ(-1) =1+2+3+4+…= -1/12 ရပါတယ်။

အထက်ကပြောခဲ့တဲ့ ∞/∞ လို ပြဿနာမျိုးတွေကို နားလည်နေကျ ဘောင်ထဲကနေ တွက်လို့ မရတဲ့အခါ Analytic Continuation နဲ့ ဆွဲဆန့်ထားတဲ့ နယ်မှာတွက်ခဲ့ရင် အဆင်ပြေသွားပါတယ်။ ဒါကြောင့် Black Hole တို့ String တု့ိလို ပုံမှန်သင်္ချာနဲ့ တွက်လို့ မရတော့တဲ့ နယ်တွေမှာ ζ(-1) =1+2+3+4+…= -1/12 formula တွေက အသုံးတဲ့လာပါတယ်။

စိတ်ဝင်စားရင် ဒီ Link မှာ https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww အလယ်တန်းအဆင့် သင်္ချာနဲ့ တွက်ပြထားကို ကြည့်နိုင်ပါတယ်။ Analytic Continuation ကိုတော့ ဒီLink မှာ https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw ကြည့်နိုင်ပါတယ်။